ˆk, donde f 1. son funciones escalares, entonces su producto cruz o vectorial del operador con la función es: y f 2

Transcripción

1 Rotacional de una función vectoial Si una función vectoial es f = f 1 î + f 2 ĵ + f 3 ˆk, donde f 1, f 2, f 3 son funciones escalaes, entonces su poducto cuz o vectoial del opeado con la función es: f = î ĵ ˆk x y z = î f 3 y f 2 z ĵ f 3 x f 1 z + ˆk f 2 x f 1 y f 1 f 2 f 3 Oden de aplicación de las deivadas paciales. Al aplica sucesivamente deivadas paciales a una función escala especto de paámetos difeentes, el oden de aplicación de dichas deivadas paciales puede altease, peo el esultado sigue siendo el mismo. ϕ x z = ϕ z x ; ϕ y x = ϕ x y ϕ Po ejemplo si ϕ = 3x z 2 + xy 2 z su pacial especto de x es: x = 3+ y2 z Si ahoa calculamos la pacial especto de y nos queda: ϕ y x = 2yz ϕ Paa compoba este esultado cambiemos el oden de deivación. y = 2xyz Deivando especto de x obtenemos: x ϕ y = 2yz que es el mismo esultado.

2 Poblema.- Demueste que el otacional del gadiente de una función es ceo: ( ϕ ) = 0 Solución.- Sabemos que el gadiente de una función es: ϕ = ϕ x î + ϕ y ĵ + ϕ ˆk z así aplicando el opeado difeencial en una opeación de otacional, obtenemos: ϕ î î ĵ ˆk y z ϕ z y ( ϕ ) = x ϕ x y ϕ y z ϕ z = ϕ ĵ x z ϕ z x + ˆk ϕ x y ϕ y x Cambiando el oden de aplicación de las deivadas paciales en un elemento de cada vecto unitaio, obtenemos: ( ϕ ) = î ϕ z y ϕ z y ĵ ϕ z x ϕ z x + ˆk ϕ y x ϕ y x = 0 Laplaciano de una función escala. Si una función escala tiene pimeas y segundas deivadas continuas entonces el opeado aplicado en poducto punto sobe una función de gadiente es ( ϕ ) = 2 ϕ = función escala

3 Función escala amónica. Si al aplica el laplaciano a una función escala esta opeación da ceo, se dice que la función escala es amónica. Y al esultado de aplica el laplaciano se le conoce como la ecuación de Laplace. 2 ϕ = 0 ecuación de Laplace ϕ es una función amónica Si al aplica el laplaciano a una función escala el esultado es difeente de ceo, dicho esultado se conoce como la ecuación de Poisson. 2 ϕ = a ecuación de Poisson ϕ es una función no amónica Función solenoidal. Si al ealiza una opeación de divegencia sobe una función vectoial nos da ceo, se dice que la función es solenoidal. f = 0 f es solenoidal Función iotacional. Si al ealiza una opeación de otacional sobe una función vectoial nos da ceo, se dice que la función es iotacional. f = 0 f es iotacional

4 Poblema.- Siendo A = ( x 2 z)î + 2y3 z 2 en el punto (1,-1,1). ĵ + ( xy2 z) ˆk halla la divegencia A Solución.- A = x î + A = y ĵ + x x2 z A = 2xz z ˆk + y 2y3 z 2 ( x2 z)î + 2y3 z 2 + ( xy ) 2 + 6y 2 z 2 A = ( 2) + ( 6) + ( 1) = 3 ĵ + ( xy2 z) ˆk + z xy2 z Poblema.- Detemina la constante β de foma que el vecto en función de x, y, z dado po V = ( x + 3y)i + ( y 2z) j + ( x + βz)k sea solenoidal. Solución.- Un vecto es solenoidal si su divegencia es ceo. V = ( x x + 3y ) + ( y y 2z ) + ( z x + βz ) = 0 V = 1+1+ β β = β = 0

5 Poblema.- Si A = ( xz 3 )i + ( 2x 2 yz) j + ( 2yz 4 )k halla A en el punto (1,-1,1) Solución A = x i" + y j" + z k" ( xz3 )i " + 2x 2 yz j " + 2yz 4 k " A = i x j y k z xz 3 2x 2 yz 2yz 4 A = y 2yz 4 z 2x2 yz i x 2yz 4 z xz3 j + x 2x2 yz y xz3 k A = ( 2z 4 + 2x 2 y)i + ( 3xz ) 2 j + ( 4xyz)k A = 3 j + 4k

6 Poblema 1.- Halla ψ ψ = ( x 2 + y 2 + z 2 )e x2 + y 2 +z 2 donde Solución: escibamos la función escala como ψ = 2 e ψ = dψ d con = ψ = ( 2e 2 e ) ψ = ( 2 ) e Poblema 2.- Suponga que la tempeatua en un punto del espacio (x,y,z) está dada po 80 T ( x, y,z) = ( 1+ x 2 + 2y 2 + 3z ) 2 Donde T está medido en gados Celsius y las vaiables x,y,z en metos. En que diección la tempeatua se incementa más ápido en el punto (1,1,-2). Cuál es la máxima velocidad de cambio? Poblemas capítulo 3 Hwei P. Hsu: 3.70, 3.71, 3.72, 3.74, 3.76, 3.77, 3.79, 3.80, 3.82, 3.83, 3.84, 3.85, 3.87, 3.91, 3.95

7 Poblema.- Sean f y g dos funciones vectoiales, halla: f g Solución.- Sabemos que al se un poducto de funciones debeán aplicase las eglas de deivación de un poducto, peo sobe el vecto y posteiomente sobe f el vecto g, esto lo epesentaemos de la siguiente foma: ( f g ) = f ( f g ) + g ( f g ) En donde f indica que solo se aplica el opeado sobe la función f, y po lo tanto la aplicación del opeado g seá solamente sobe la función g. Aplicando la egla de ciclicidad al pime témino Dado que el opeado está aplicado sobe el vecto f f g = g ( f ) Aplicando la egla de ciclicidad al segundo témino Dado que el opeado está aplicado sobe el vecto f ( f g ) = g ( f f ) f, entonces es coecto. f g Aplicando la egla anticonmutativa al segundo témino g Finalmente obtenemos: = f g = g ( f ) f ( g ) g ( g f ) = f g g f g f g = g ( g f ), entonces no es coecto. f g g f = g

8 Poblema.- Sean f y g dos funciones vectoiales, halla: f g Solución.- Sabemos que al se un poducto de funciones debeán aplicase las eglas de deivación de un poducto, peo sobe el vecto y posteiomente sobe f el vecto g, esto lo epesentaemos de la siguiente foma: ( f g ) = f ( f g ) + g ( f g ) En donde f indica que solo se aplica el opeado sobe la función f, y po lo tanto la aplicación del opeado g seá solamente sobe la función g. Realizando el tiple poducto cuz del pime témino f f g El pime témino de este tiple poducto no tiene sentido, po lo que conmutamos el poducto punto f f g = g f f f g Realizando el tiple poducto cuz del segundo témino g El segundo témino de este tiple poducto no tiene sentido, po lo que conmutamos el poducto punto g f g f g = = g g f f g g f f g = ( f g ) f ( f f ) g ( f g ) = ( g f ) f ( f f ) g ( f g ) = ( g g ) f ( g f ) g ( f g ) = ( g g ) f ( f g ) g g + ( g ) f f

9 Poblema.- Sean f f f y g g = f " 1 i + f " 2 j + f 3 k " g = f 1 dos funciones vectoiales, halla: ( ) x + f 2 y + f 3 z x î + y ĵ + z g g = f 1 x + f 2 g y + f g 3 z f g Solución.- Sustituyendo diectamente las funciones y el opeado vectoiales Es deci, no se tata de la divegencia de ˆk g 1î + g ĵ + g ˆk 2 3 Poblema.- Sea f una función vectoial y ϕ una función escala, halla: ( f )ϕ = f 1 x + f 2 ( f )ϕ = ( f " 1 i + f " 2 j + f 3 k " ) y + f 3 z x î + y ĵ + z ϕ = f ϕ 1 x + f ϕ 2 y + f ϕ 3 z ˆk ϕ f g f g f ϕ Solución.- Sustituyendo diectamente las funciones y el opeado vectoiales Es deci, se tata del poducto punto de la función g en la diección de f f f ϕ = f ϕ con el gadiente de ϕ

10 Poblema Sea a un vecto constante y el vecto de posición demosta: a) a c) = 0 = 2a b) a a 3 a + = 0 d) a 1 + a 1 = 0 3 Solución.- Sean los vectoes a y : El poducto cuz de estos vectoes a y es: a = i j k a 1 a 2 a 3 x y z a) La divegencia de este poducto vectoial es: ( a ) = za ya 2 3 x a = a 1 î + a 2 ĵ + a 3 ˆk ; = xî + yĵ + z ˆk = î ( za 2 ya 3 ) j( za 1 xa 3 ) + k ( ya 1 xa 2 ) ( za xa 1 3) y + ( ya xa ) 1 2 z = 0

11 b) El otacional de este poducto vectoial es: i j k ( a ) = x y ( za 2 ya 3 ) za 1 xa 3 z ( ya 1 xa 2 ) = î ( a 1 + a 1 ) j( a 2 a 2 ) + k ( a 3 + a 3 ) = 2a c) Reescibiendo el inciso con el poducto punto de a y así como el poducto cuz nos queda: a a = xa + ya + za î ( za 2 ya 3 ) j za 1 xa 3 3 El pime témino del lado deecho es el gadiente de un poducto de funciones escalaes: xa + ya + za = 1 xa 3 ( 1 + ya 2 + za 3 ) + xa + ya + za ( 1 2 3) 1 3 a 3 a 2 3 a 3 a = + a 3 4 = 5 + k ( ya 1 xa 2 ) El segundo témino del lado deecho es el otacional de un poducto de funciones escalaes: a 3 = 1 3 ( a ) + 1 ( a ) 3

12 Sustituyendo los esultados obtenidos peviamente nos queda a 3 a 3 = 2 a = 2 2 a 3 a 5 = 2 a 2 3 ( a ) a ( a ) = ( ) a ( a ) 5 ( a ) = 2 a ( a ) 2 a 3 2 a ( a ) = 2 Sustituyendo los esultados obtenidos peviamente nos queda a 3 a + a 2 = 3 a d) a 1 + a 1 = 3 a 3 5 a a + 3 ( a ) = 0 5 a 3 a + 3 = 0 = 2 a + 3 ( a ) 5

13 Poblema.- Sea el vecto de posición calcula: Solución.- Teniendo en cuenta que: ( 3 ) = ( 3 ) = xî + yĵ + z ˆk ; con 3 = 3 2 = = x 2 + y 2 + z 2 = 3 = x i" + y j" + z k" ( xî + yĵ + z ˆk ) = 3 ( 3 ) = ( 3 ) + 3 ( 3) = 3 ( ) = 6 3 Poblema.- Sea el vecto de posición y A = calcula: Solución.- El gadiente de la divegencia a calcula es: = 1 = = = A = 2 = 2 2 = 2 3